Cercle et cordes...

[fhughes]

Bonjour à toutes et tous,

 

je poste ici car le problème qui suit peut sans doute être résolu pendant une pause...

 

je cherche de l'aide pour résoudre un problème de trigonométrie...

 

Je dois déterminer le rayon d'un cercle.

 

Je connais :

 

la longueur d'une corde B

la longueur d'une corde m

les extrémités de la corde B forment avec le centre du cercle un angle a

les extrémités de la corde m forment avec le centre du cercle un angle valant p = a/n

 

a n'est pas connu

n est connu

 

Avec l'aide de mon copain Pythagore, j'arrive à l'équation suivante :

 

m/B = sin(a/n) / sin(a)

 

et là, c'est le drame...

 

comment sortir "a" de cette formule ???

 

merci pour vos réponses...

 

http://huguesfrancois.no-ip.org/public//images/cercles_et_angles.gif

 

[Edité le 19/4/2011 par fhughes]

[lili2006]

Bonjour à toutes et tous,

 

(gile) à fait un tableur sympa pour ce genre de pb,...

[fhughes]

C'est gentil, mais mon cas ne s'y trouve pas...

 

Car je ne connais pas le rayon ni l'angle (les deux étant liés, un seul ferait mon bonheur)...

 

Graphiquement, avec le sketcher de Pro/E, pas de problème pour trouver ce rayon, mais c'est la résolution de cette fichue équation qui me bloque.

 

Voici comment j'ai procédé :

 

m/2 = R sin (p/2)

B/2 = R sin (a/2)

 

R = B/(2 sin (a/2))

 

m = sin (p/2) B/(2 sin (a/2))

 

p = a/n

 

m/B = sin (a/2n) / (2 sin (a/2))

 

Je connais m, B et n

 

C'est donc une équation à une seule inconnue !

 

Mais comment trouver sa valeur fonction de m, B et n ???

 

(elle est un peu différente que la première équation que j'ai donné, car j'avais utilisé directement les demi-cordes et demi-angles... Ce qui revient au même.)

 

 

[Invité ingoenius]

Si je ene me trompe pas, l'intersection de deus lignes medianes et perpendiculaires

aux cordes est le centre du cercle

[lili2006]

Bonjour à toutes et tous,

 

C'est donc une équation à une seule inconnue !

 

Non, il y a deux inconnues !

 

R & a

 

Il faut donc deux équations à comparer.

 

La loi des sinus, et peut-être faire intervenir AL KASHI,...

 

Ton pb m'intéresse mais je n'ai pas trop de tps aujourd'hui,...

 

Je regarderai plus tard si personne n'a trouvé mais je pense que l'on peut écrire =>

 

R² = B²/(2x(1-cos a)) = m²/ (2x(1-cos p)) =>(1) Depuis AL KASHI,

 

Et par exemple, depuis la loi des sinus =>

 

R = B/(2 x (sin a/2)) = B/(2 x (sin np/2)) => (2)

 

En comparant ces deux égalités [ (1) = (2) ], on doit pouvoir extraire a ou p (au choix).

 

Une fois "a" extrait, dans les équations (1) ou (2), on détermine R

 

 

[Turtle]

Salut,

 

" n " correspond a quoi sur ton schéma ???

[lili2006]

Re,

 

Sur le schéma ci-dessus "n" = 7, soit a= 7 x p

[LrDb]

Bonjour,

pour n=2 (seulement)

a= 4 arc cos(B/(2m))

j'essayerai de m'y pencher + tard,

a pas l'air d'être simple tout ça

cdlt

lrdb

 

[fhughes]

En fait, j'ai fait une petite erreur dans mon équation finale (un facteur 2) :

 

Il fallait lire :

 

m/B = sin (a/2n) / sin (a/2)

 

Ceci dit, cela ne change pas grand chose au pb...

 

n est un entier naturel

m/B est forcément compris entre 0 et 1

 

Et il n'y a bien qu'une seule inconnue, car une fois l'angle connu, on peut déduire le rayon car on connait la corde... en effet au début de ma démo, on note que :

 

B/2=R * sin(A/2)

 

soit R=B/2 sin(A/2)

 

Si on trouve A grâce à la formule du haut, on trouve R...

 

Mais comment trouver A. J'ai essayé Al Kashi, et on tombe sur le même genre d'équation, mais avec des cosinus...

 

[lili2006]

Re,

 

Oui !

et on tombe sur le même genre d'équation, mais avec des cosinus...

 

Oui mais en posant les égalités des équations de mon post précédent => (1) = (2), et en maitrisant les écritures trigo, tu peux extraire "a" (ou "p") puis R,....

[fhughes]

Ben c'est justement le coup de main que je demande, car j'ai essayé et je n'y arrive pas, alors si toi tu sais résoudre ces équations, s'il te plait, donne moi la solution...

[lrdb@home]

Bonjour fhugues,

j'ai juste remarqué que l'angle formé par BM (teta)

est proportionnel à a

sous la forme:

a=2×teta × n /(n-1)

mais ça rajoute une variable encore et encore.

si ça peut t'aider...

bon courage

[lili2006]

Bonsoir à toutes et tous,

 

Ben c'est justement le coup de main que je demande, car j'ai essayé et je n'y arrive pas, alors si toi tu sais résoudre ces équations, s'il te plait, donne moi la solution...

 

Comme écris plus haut, ton pb m'intéresse mais je manque de tps en ce moment.

 

Je regarderai,

[lrdb@home]

Bonjour,

B/M=sin(np/2)/sin(p/2) comme l'a fait remarqué fhugues

on pose x=P/2

on a

B/M=sin (nx)/sin (x)

 

pour n=2

sin (2x)=2 cosx sinx

B/M=2cos(x)

cos(x)=B/(2m)

x=arc cos (B/(2m))

et p=2x

 

pour n=3

B/M = sin(3x)/sin(x)

sin(3x)=3 sin(x)-4 sin3 (x) (c'est là que ça se corse)

B/M= [3 sin(x)-4 sin3 (x)]/sin (x)

B/m= 3 - 4sin²(x)

sin(x)= racine[((B/M)-3)/-4]

x=arc sin[racine[((B/M)-3)/-4]]

et p=2x

 

le plus dur là dedans est de déterminer sin nx en fonction de sin x

on utilise pour celà la formule de moivre.

ici s'arrete mes compétences, j'espère vivement qu'il y a plus simple..

cordialement

lrdb

 

[fhughes]

Merci pour ces réponses,

 

j'en profite pour féliciter l'implication des membres de ce forum et leur dynamisme. J'ai en effet posté la même question sur 2 forums spécialisés en maths, et je n'ai eu en tout et pour tout qu'une seule réponse hors sujet...

 

 

 

 

[lili2006]

Bonsoir à toutes et tous,

 

J'ai bien peur (après quelques essais,...) que lrdb@home (à qui je souhaite la bienvenue sur ce forum en passant)soit dans le vrai en ce qui concerne l'intervention de MOIVRE,....

 

Aie aie aie !

 

Mais je vais continuer de chercher,... ça risque d'être "très" compliqué en démonstration MAIS "plus" simple en application,.... Une fois que la formule sera mise en place, il serait judicieux de compléter le tableur de (gile), :P

[bonuscad]

Bonsoir,

 

Je m'attends un peu à la réponse, mais

 

Je connais :

 

la longueur d'une corde B

la longueur d'une corde m

les extrémités de la corde

 

Les extrémités des cordes sont-elles connues?

J"entends par cela leur positionnement ainsi que leur orientement.

 

Dans l'affirmative, cela peu beaucoup simplifier la résolution...

[lili2006]

Re,

 

Salut bonuscad,

 

Dans l'affirmative, cela peu beaucoup simplifier la résolution...

 

Si c'était le cas (

Les extrémités des cordes sont-elles connues?

),..

 

A quoi penses-tu ?

[bonuscad]

A quoi penses-tu ?

 

Si son problème et purement graphique et non mathématique.

 

Donc si le segment m et B sont connu en positionnement comme sur l'image, de là L'ANGLE mB est connu.

Une perpendiculaire au milieu de chaque segment, leur intersection donnera le centre du cercle. Il est donc facile d'avoir le rayon ou l'angle au centre.

 

C'est si simple que je pense pas que ce soit le cas! :calim:

[lili2006]

Re,

 

Si son problème et purement graphique et non mathématique.

 

C'est possible ça ?

 

m et B sont connu en positionnement

 

Malheureusement non, puisque fonction de "a",.... :exclam:

 

Pb très intéressant mais pour le moment, je tourne sans pouvoir sortir les nombres imaginaires,....

 

je poste ici car le problème qui suit peut sans doute être résolu pendant une pause...

 

Une longue pose alors,......... :P

[(gile)]

Salut,

 

Voir du côté de la "méthode de Newton" pour une résolution approximations successives.

[lili2006]

Re,

 

Oui !

 

Une autre piste qui peut être intéressante,...

[fhughes]

Ca me paraissait tout con au début, en plus, l'équation de base est plutôt "jolie"...

 

Ce qui me surprend, c'est que le sujet n'est jamais été abordé...

J'ai passé quelques heures sur google sans trouver le moindre trace de cet exemple.

 

Systématiquement, dans les solutions proposées, on connait les cordes et une hauteur d'arc...

 

Mais pas ici.

 

Quelques explications sur la mouche qui m'a piqué :

 

Je suis en train de paramétrer une chaine dans Pro/ENGINEER. Comme chacun sait, les maillons de la chaine sont de longueur finie... J'arrive à déterminer le nombre de maillons sur le brin tendu, sur le plateau et sur le pignon... Reste le brin mou :(

Normalement, il s'agit d'une portion de parabole... mais pour simplifier, je me suis dit qu'une portion d'arc ferait bien l'affaire...

Je connais donc les infos suivantes :

là où s'arretent les maillons du plateau, là où s'arretent les maillons du pignons, ce qui me détermine ma longueur de corde B. Je divise cette corde par la longueur du maillon (ma corde m) et je prends le plus petit entier supérieur au résultat de la division, soit mon petit n.

 

Reste à déterminer l'angle de l'arc créé par les n maillons pour aller du plateau au pignon !

[lili2006]

Bonsoir à toutes et tous,

 

Après de nouveaux quelques essais infructueux, j'ai proposé le pb à plusieurs profs de maths du lycée. Très peu on joué le jeu,...Le seul qui ne m'a pas laissé tomber pense passer également par la formule de Moivre,...

 

@ suivre donc, :D

[lili2006]

Bonjour à toutes et tous,

 

(Gile) avait raison, plus facile en approximations successives,...

 

En posant: f(a) = Bx sin (a/2 x n)) - m sin a/2 = 0

 

Par exemple pour B = 19.00m; m = 3.00m et n= 7,

 

Alors a= 98.647 gon & R = 13.580 m,

 

 

Plus qu'à mettre ça sous Excel et utiliser le solveur,...

 

Un peu plus de détail,...